Понятие симметрии играет важную роль во всех естественных науках. Свойствами симметрии обладают структуры многих молекул, ионов, образуемых ими реагирующих систем.

Математической основой теории симметрии является теория групп. Понятие группы – предмет теории групп.

Множество G с бинарной операцией называется группой, если:

1. Операция ассоциативна, т. е.  для любых a, b, c из G.

2. Операция гарантирует единицу, т. е. в G существует такой элемент е – он называется единицей, - что  для любого а из G.

3. Операция гарантирует обратные элементы, т. е. для любого а из G существует в G такой элемент а-1 – он называется обратным к а, - что .

В теории молекулярной симметрии понятие представления группы играет центральную роль. Учитывая это, дадим определение представления группы, используя различные математические объекты, представляющие группу.

Представлением группы, действующим в n-мерном векторном пространстве V, называется гомоморфизм этой группы в группу невырожденных линейных операторов пространства V.

Задача настоящей работы состояла в самостоятельном изучении основных понятий и методов данной области и рассмотрении примеров по изучаемым темам.

В процессе написания были проработаны следующие разделы: операции симметрии молекул; классы смежности и факторизация групп; векторные, эвклидовы и унитарные пространства; представления групп и характеры представлений; операторы проектирования. Материал разбит на две главы, которые в свою очередь разбиваются на параграфы. На протяжении всего теоретического материала рассматриваются примеры, которые иллюстрируют применение изучаемых вопросов. Так большинство примеров показаны на множестве операций симметрии молекул аммиака NH3 – группе C3V.

• Операции симметрии молекулы. Элементы и операции симметрии молекулы
• Групповые постулаты. Алгебраические операции
• Таблица Кэли
• Определение группы
• Гомоморфизмы и изоморфизмы
• Классы смежности и классы сопряженных элементов
• Факторизация групп
• Введение в теорию представлений групп симметрии молекул. Векторные (линейные) пространства. Модуль и векторное пространство
• База (базис) и размерность векторного пространства
• Эвклидовы и унитарные пространства. Билинейные и квадратичные формы
• Эвклидовы и унитарные пространства
• Изометрия эвклидовых и унитарных пространств
• Линейные отображения, операторы и матрицы
• Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы
• Представления групп. Определение представлений
• Приводимые и неприводимые представления
• Представления групп и модули
• Представление алгебр и модули
• Характеры представлений. Определение и свойства характеров
• Таблицы характеров неприводимых представлений
• Разложение характеров по неприводимым представлениям
• Определение характеров неприводимых представлений при применении групповых алгебр групп
• Алгоритм нахождения характеров неприводимых представлений
• Примеры
• Операторы проектирования. Операторы проектирования и идемпотенты кольца
• Каноническое разложение представления
• Проекционные операторы, связанные с матрицами неприводимых представлений групп
• Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера
• Заключение