Определение 1. Кольцом называется множество K, в котором определены операции сложения и умножения и выполняются аксиомы:

1. Относительно сложения кольцо является абелевой группой, т. е. в аддитивной записи операций имеют место условия (для всех a, b, c Î K):

a+b=b+a – коммутативность (абелевость) сложения;

(a+b)+c=a+(b+c) – ассоциативность сложения;

a+0=0+a=a – существование нулевого элемента;

a+(-a)=(-a)+a=0 – существование противоположного элемента.

2. Умножение связано со сложением аксиомами дистрибутивности:

(a+b)c=ac+bc; c(a+b)=ca+cb.

3. Умножение ассоциативно:

(ab)c=a(bc).

Определение 2. Полем называем коммутативное по умножению кольцо, в котором каждый ненулевой элемент а имеет обратный элемент, т. е. такой элемент a-1, что , где е – единица кольца.

Определение 3. Левым модулем над кольцом K называется абелева группа по сложению М, для которой определены произведения kmÎM для всех kÎK и mÎM, причем выполняются аксиомы:

1) k(m1+m2)=km1+km2;

2) (k1+k2)m=k1m+k2m;

3) (k1k2)m=k1(k2m)

для любых m, m1, m2ÎM и k, k1, k2ÎK.

Если в кольце K есть единицы (что мы предполагаем), то выполняется еще аксиома

4) em=m

для любого mÎM.

Аналогично определяются правые модули, в которых произведение записывается в виде mk. Модуль одновременно левый и правый называется двусторонним модулем, будем называть его просто «модулем».

Определение 4. Модуль над полем P называется векторным, или линейным пространством над полем Р.

Определение 5. Подмножество M1 левого модуля М над кольцом K называется подмодулем модуля М, если (m1+m2)ÎM1 для всех m1, m2ÎM1 и kmÎM1 для всех kÎK и mÎM1.

Определение 6. Подмодуль векторного пространства называется подпространством векторного пространства.