Пусть дана группа G и два подмножества M и N множества G.

Определение 1. Произведением подмножеств М и N группы G называется множество MN, состоящее из всевозможных произведений mn, где m пробегает множество M, а n – множество N.

Теорема 1. Произведение АВ двух подгрупп А и В группы G будет подгруппой группы G, если А и В перестановочны, т. е. если АВ=ВА.

Рассмотрим примеры. В группе C3V перемножим подгруппы {}3 и {}2. Используя таблицу Кэли для C3V, получаем, что C3V факторизуема: C3V={}3 {}2. По таблице Кэли группы C3V находим {}2{}2={, , , }. Но это не подгруппа группы C3V. Следовательно, согласно теореме должно выполняться неравенство {}2{}2¹{}2{}2. Действительно, перемножая, получим

{}2{}2={, , , }.

Определение 2. Группа G называется прямым произведением подгруппы А и В, если элементы подгрупп А и В перестановочны: ab=ba, "aÎA, "bÎB и каждый элемент gÎАВ однозначно представляется в виде произведения g=ab. Обозначается прямое произведение подгруппы как G=A´B.

Определение 3. Подгруппа Н группы G называется циклической, порожденной элементом h, если все ее элементы являются степенями элемента h. Если же сама группа G совпадает со своей циклической подгруппой, то она называется циклической группой.

Элементом симметрии называется вспомогательный геометрический образ, характеризующий циклическую группу преобразования симметрии.

Теорема 2. Каждая конечная абелева группа G является прямым произведением конечных циклических групп, порядки которых являются степенями простых чисел.

Определение 4. Множество элементов a, b, c… группы G называется системой образующих групп G, если каждый элемент группы может быть представлен в виде произведения степеней элементов указанного множества

akblcm…=g.

Например, для циклической группы {}3 образующим элементом или генератором группы является элемент . У группы C3V два образующих элемента: и , в чем можно убедиться, рассматривая факторизацию C3V={}3´{}2.

Определение 5. Соотношения вида

apbqcr…=e,

связывающие образующие элементы группы G, называются ее определяющими соотношениями.