Пусть G – группа, H – ее подгруппа.

Определение 1. Всякое множество Hg (т. е. совокупность всех элементов hg, где h пробегает H, g – фиксированный элемент группы G) называется правым смежным классом группы G по подгруппе H. Аналогично определение левого смежного класса gH.

Каждый элемент смежного класса называется его представлением. Так, элемент g – представитель класса Hg, поскольку из-за наличия в группе Н единицы е группы G элемент g=egÎHg.

Будем считать подгруппу H первым правым смежным классом. В результате группу G можно представить в виде объединения правых смежных классов:

Hg1+Hg2+…+Hgm=G (3)

Выражение (3) называется правосторонним разложением группы G по подгруппе H.

Рассмотрим пример. В группе C3V выберем подгруппу {, }={}2, считая ее первым правым смежным классом. Возьмем элемент и по таблице Кэли группы C3V найдем второй правый смежный класс {, }={, }. Элемент не входит в оба класса, и с помощью его получаем третий правый смежный класс {, }={, }. Таким образом, правостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид

C3V={, }+{, }+{, }. (4)

Аналогично левостороннее разложение группы C3V по подгруппе {}2 имеет вид

C3V={, }+{, }+{,}. (5)

Существенно, что левостороннее разложение (5) не совпадает с правосторонним разложением (4).

Теорема Лагранжа. Порядок подгруппы H конечной группы G является делителем порядка группы G.