Обозначим через EndpV алгебру линейных операторов векторного пространства V над полем Р и пусть А – произвольная алгебра.

Определение 8. Представлением алгебры А называется сопоставление каждому элементу aÎA линейного оператора Î EndpV, причем должны выполняться следующие условия:

1) 1®, где - единичный оператор;

2) pa®p; pÎP; aÎA;

3) a+b®+; a, bÎA; , Î EndpV;

4) ab®; a, bÎA.

Определение 8 является иной формулировкой определения модуля над кольцом А, если кольцо является алгеброй над полем Р.

Определение 9. Модулем над алгеброй А называется абелева группа по сложению М, для которой определена операция умножения элементов из А на элементы из М: amÎM, aÎA, mÎM и при этом выполняются следующие условия:

1) (a+a¢)m=am+a¢m;

2) (aa¢)m=a(a¢m);

3) em=m;

4) a(m+m¢)=am+am¢;

5) (aa)m=a(am)=a(am), aÎP.

Здесь дано определение левого модуля.

Теорема 1. Всякий левый (правый) модуль М над кольцом А, которым является алгебра, представляет собой также векторное пространство над полем Р, причем для всех aÎA, mÎM, lÎP справедливы равенства

l(ma)=(lm)a=m(la); l(am)=a(lm)=(la)m.