Группы – один из основных типов алгебраических систем, а теория групп – один из основных разделов современной алгебры. Понадобилась работа нескольких поколений математиков прежде чем идея групп выкристаллизовалась с ее сегодняшней ясностью. От Лагранжа через работы Руффини и Абеля к Эваристу Галуа, в работах которого уже достаточно сознательно используется идея группы (им же впервые введен и сам термин), - вот путь, по которому развивалась эта идея в рамках теории алгебраических уравнений. В настоящее время теория групп является одной из самых развитых областей алгебры, имеющей многочисленные применения в как в самой математике, так и за ее пределами – в топологии, теории функций, кристаллографии, квантовой механике и других областях математики и естествознания. Конечной целью собственно теории групп является описание всех групповых композиций.

Понятие группы позволяет в точных терминах охарактеризовать симметричность той или иной геометрической фигуры. Именно с таких позиций Е.С. Федоров решил задачу классификации правильных пространственных систем точек, являющуюся одной из основных задач кристаллографии.

Независимо и по другим причинам идея группы возникла в геометрии, когда в середине XIX в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные «геометрии» и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход был указан «Эрлангенской программой» Клейна, положившей в основу классификации геометрий понятие группы преобразований.

Лежащее в фундаменте современной математики понятие группы является весьма разносторонним орудием самой математики. Вместе с тем группы – это мощный инструмент познания одной из наиболее глубоких закономерностей реального мира – симметрии.