Определение 12. Взаимно однозначное отображение f модуля М на модуль М¢ над одним и тем же кольцом K называется изоморфизмом, если выполняются следующие условия:

1. f(x, y)=f(x)+f(y)=x¢+y¢; x¢=f(x); y¢=f(y);

"x, yÎM;

2. f(ax)=af(x)=ax¢; "xÎK; "xÎM; x¢=f(x)ÎM¢.

Определение 13. Два векторных пространства W и W¢ над полем Р называются изоморфными, если они изморфны как модули над кольцом, которым является поле Р.

Пусть теперь даны два векторных пространства W и W¢ со скалярными произведениями A(x, y) и A¢(x¢, y¢) над полем Р.

Определение 14. Изометрией векторных пространств W и W¢ называется любой их изморфизм, который сохраняет значения всех скалярных произведений, т. е.

A(x, y)= A¢(f(x), f(y))= A¢(x¢, y¢); "x, yÎW;

f(x)=x¢; f(y)=y¢.

В эвклидовом пространстве из определения длины вектора и угла между двумя векторами следует, что при изометрии сохраняются длины векторов и углы между ними, т. е. сохраняются метрические соотношения, чем и объясняется название «изометрия». В унитарном пространстве при изометрии сохраняются длины векторов, ортогональные векторы переходят в ортогональные векторы.