Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы
Материалы / Теория симметрии молекул / Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы

Определение 2. Линейные операторы эвклидова (унитарного) пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов этого пространства, называется ортогональными (унитарными) операторами.

Пусть e1, e2, …, en – ортонормированная база унитарного (эвклидова) пространства. Если - унитарный (ортогональный) оператор, то согласно его определению

(ei, ej)= (ei, ei)=1, i=1, 2, …, n;

(ei, ej)= (ei, ej)=0, i¹y. (2)

Это означает, что система векторов e1, e2, …, en сама составляет ортонормированную базу в соответствующем пространстве.

Пусть А – матрица унитарного (ортогонального) оператора. Тогда можно записать . Из выражения (2) следует, что в матрице А скалярные произведения векторов-столбцов на себя равны единице, а скалярное произведение различных векторов-стобцов равно нулю. Такая матрица называется унитарной (ортогональной). Унитарность (ортогональность) матрицы А означает, что сумма произведений элементов, стоящих в любом столбце этой матрицы, на сопряженные (на те же самые) к ним элементы равны единице, а сумма произведений элементов любого столбца на сопряженные к ним (на соответственные к ним) элементы другого столбца равна нулю.

Определение 3. Матрица А* называется эрмитово сопряженной (или просто сопряженной) по отношению к матрице А, если А*=, т. е. для того, чтобы из матрицы А получить эрмитово сопряженную матрицу, ее надо транспонировать и заменить элементы транспонированной матрицы комплексно-сопряженными элементами.

Определение 4. Матрица А называется самосопряженной или эрмитовой матрицей, если A=A*; в том же случае, если элементы матрицы вещественны, A*=At=A и матрица А называется симметрической матрицей.

Определение 5. Матрица А называется унитарной (ортогональной) матрицей, если A*=A-1 (если At=A-1). Операторы, соответствующие эрмитовым матрицам, будем называть эрмитовыми.

Смотрите также

Получение феррита бария из отходов производства машиностроительных предприятий
Бария гексаферрит, бария карбонат, отход термического производства, утилизация, бария хлорид, гальваношлам.      В курсовой работе предложены методы получения феррита бария, который ...

Америций (Americium), Am
Америций - искусственно полученный радиоактивный химический элемент, относится к актиноидам, атомный номер 95. Стабильных изотопов не имеет. Синтезирован в конце 1944 - начале 1945 американскими учёны ...

Цинк и опыты с ним
...