Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы
Материалы / Теория симметрии молекул / Унитарные, ортогональные, эрмитовы операторы и матрицы

Определение 2. Линейные операторы эвклидова (унитарного) пространства, которые сохраняют скалярное произведение векторов этого пространства, называется ортогональными (унитарными) операторами.

Пусть e1, e2, …, en – ортонормированная база унитарного (эвклидова) пространства. Если - унитарный (ортогональный) оператор, то согласно его определению

(ei, ej)= (ei, ei)=1, i=1, 2, …, n;

(ei, ej)= (ei, ej)=0, i¹y. (2)

Это означает, что система векторов e1, e2, …, en сама составляет ортонормированную базу в соответствующем пространстве.

Пусть А – матрица унитарного (ортогонального) оператора. Тогда можно записать . Из выражения (2) следует, что в матрице А скалярные произведения векторов-столбцов на себя равны единице, а скалярное произведение различных векторов-стобцов равно нулю. Такая матрица называется унитарной (ортогональной). Унитарность (ортогональность) матрицы А означает, что сумма произведений элементов, стоящих в любом столбце этой матрицы, на сопряженные (на те же самые) к ним элементы равны единице, а сумма произведений элементов любого столбца на сопряженные к ним (на соответственные к ним) элементы другого столбца равна нулю.

Определение 3. Матрица А* называется эрмитово сопряженной (или просто сопряженной) по отношению к матрице А, если А*=, т. е. для того, чтобы из матрицы А получить эрмитово сопряженную матрицу, ее надо транспонировать и заменить элементы транспонированной матрицы комплексно-сопряженными элементами.

Определение 4. Матрица А называется самосопряженной или эрмитовой матрицей, если A=A*; в том же случае, если элементы матрицы вещественны, A*=At=A и матрица А называется симметрической матрицей.

Определение 5. Матрица А называется унитарной (ортогональной) матрицей, если A*=A-1 (если At=A-1). Операторы, соответствующие эрмитовым матрицам, будем называть эрмитовыми.

Смотрите также

Изотермы адсорбции паров летучих органических веществ на пористых углеродных материалах
Антропогенные изменения окружающей среды становятся все более значимыми по мере усиления хозяйственной деятельности человека. Научно – технический прогресс ведет к заметным, иногда непредск ...

Полоний (Polonium), Po
Полоний - радиоактивный химический элемент VI группы периодической системы Менделеева, атомный номер 84. П. - первый элемент, открытый по радиоактивным свойствам П. Кюри и М. Склодовской-Кюри 1898 (см ...

Смачивание, смачивающие агенты, гидрофобизация, гидрофобизирующие агенты
...