Определение 1. Бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М, называется правило, согласно которому каждые два элемента a и b множества М, взятые в определенном порядке, однозначно сопоставляются с элементом с из этого множества, называемым результатом выполнения операции.

Рассмотрим в качестве общего примера множество операций симметрии молекулы. Под произведением операций симметрии и будем понимать их последовательное выполнение. Первые два требования к алгебраической операции, очевидно, выполняются. Проверим выполнение третьего условия из определения алгебраической операции.

Операция симметрии совмещает геометрическую модель с собой, и если после выполнения операции мы выполнили операцию , модель снова совместится сама с собой. Проверим изометричность произведения . Пусть геометрическая модель молекулы изображена на рисунке в виде фигуры F. Операции симметрии этой фигуры являются операциями симметрии молекулы. Пусть x и y – любые две точки фигуры F и пусть при операции точки x и y переходят в точки x¢ и y¢ соответственно, что запишем в виде x¢=x, y¢=y. Аналогично, пусть x¢¢=x¢, y¢¢=y¢. Тогда при последовательном выполнении операций и , т. е. в результате выполнения операции , получаем x¢¢=x, y¢¢=y. Так как изометрично, то r(x, y)=r(x¢, y¢), где r(x, y) обозначает расстояние между точками x и y, а r(x¢, y¢) – расстояние между точками x¢, y¢. Поскольку тоже изметрично, то r(x¢, y¢)=r(x¢¢, y¢¢). Из полученных равенств следует, что r(x, y) =r(x¢¢, y¢¢), т. е. изометрично. Так как самосовмещение фигуры есть ее отображение на себя, то есть изометрическое отображение фигуры F на себя, т. е. операция симметрии фигуры. Поскольку и можно считать любыми элементами множества операций симметрии молекулы, третье условие из определения алгебраической операции выполнено.