Групповые постулаты. Алгебраические операции
Материалы / Теория симметрии молекул / Групповые постулаты. Алгебраические операции

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М, называется правило, согласно которому каждые два элемента a и b множества М, взятые в определенном порядке, однозначно сопоставляются с элементом с из этого множества, называемым результатом выполнения операции.

Рассмотрим в качестве общего примера множество операций симметрии молекулы. Под произведением операций симметрии и будем понимать их последовательное выполнение. Первые два требования к алгебраической операции, очевидно, выполняются. Проверим выполнение третьего условия из определения алгебраической операции.

Операция симметрии совмещает геометрическую модель с собой, и если после выполнения операции мы выполнили операцию , модель снова совместится сама с собой. Проверим изометричность произведения . Пусть геометрическая модель молекулы изображена на рисунке в виде фигуры F. Операции симметрии этой фигуры являются операциями симметрии молекулы. Пусть x и y – любые две точки фигуры F и пусть при операции точки x и y переходят в точки x¢ и y¢ соответственно, что запишем в виде x¢=x, y¢=y. Аналогично, пусть x¢¢=x¢, y¢¢=y¢. Тогда при последовательном выполнении операций и , т. е. в результате выполнения операции , получаем x¢¢=x, y¢¢=y. Так как изометрично, то r(x, y)=r(x¢, y¢), где r(x, y) обозначает расстояние между точками x и y, а r(x¢, y¢) – расстояние между точками x¢, y¢. Поскольку тоже изметрично, то r(x¢, y¢)=r(x¢¢, y¢¢). Из полученных равенств следует, что r(x, y) =r(x¢¢, y¢¢), т. е. изометрично. Так как самосовмещение фигуры есть ее отображение на себя, то есть изометрическое отображение фигуры F на себя, т. е. операция симметрии фигуры. Поскольку и можно считать любыми элементами множества операций симметрии молекулы, третье условие из определения алгебраической операции выполнено.

Смотрите также

Получение дихлорэтана из этилена
...

Осмий (Osmium), Os
Попробуйте подсчитать, какой путь совершает кончик пера автоматической ручки при движении по бумаге только в пределах одной тетради в 12 листов. Пусть это будет зависеть от величины букв, манеры письм ...

Углерод и его основные неорганические соединения
Углерод (лат. Carboneum) С – химический элемент IV группы периодической системы Менделеева: атомный номер 6, атомная масса 12,011(1). Рассмотрим строение атома углерода. На наружном энергети ...