; . (29)

Раскрывая определить третьего порядка, получаем

(l2-l-2)(2-l)=0; l1=l2=2; l3=-1; -l3-9l=0; l1=0; l2=3; l3=-3.

4. Находим теперь собственные векторы для рассматриваемых матриц. Для матрицы С(1) – это произвольный вектор x1(1)= (x1, x2, x3). Для собственного значения l=2 матрицы С(2) имеем

,

где x3 – любое. Сам вектор можно записать в виде x2(2)= (x1, x2, x3). Поскольку l=2 – двукратное собственное значение, то матрица С(2) имеет два линейно независимых собственных вектора с собственными значениями, равными 2, например, (1 1 0) и (0 0 1) (фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений).

Для l=-1 в случае той же матрицы находим

x2(-1)=(-2x2, x2, 0)=(2x2¢, -x2¢, 0); x2¢=-x2.

Для собственного значения l=0 матрицы С(3) получаем х3(0)=х2(-1), т. е. мы уже нашли общий собственный вектор матриц С(1), С(2), С(3).

Для l=3 в случае матрицы С(3) запишем x3(3)= (x1, x1, x1).

Для l=-3 той же матрицы С(3) получим x3(-3)= (x1, x1, -x1).

Таким образом, выполнили пункт 4 алгоритма для нахождения характеров неприводимых представлений конечных групп. Чтобы выполнить пункт 5, необходимо найти общие собственные векторы для всех матриц C(i), i=1, 2, 3. Один из них уже найден – это вектор x3(3)=(x1, x1, x1) приравнивается вектору x2(2)= (x1, x1, x3), откуда следует, что x3=x1. Получим второй общий собственный вектор. Соответствующие собственные значения для этого вектора запишем в виде (1, 2, 3).

Приравняем теперь векторы x3(-3)= (x1, x1, -x1) и x2(2)= (x1, x1, x3). Это дает x3=-x1, т. е. третьим общим собственным вектором рассматриваемых матриц будет вектор (x1, x1, -x1). Поскольку матрица С(3) имеет все различные собственные значения, то соответствующие собственные подпространства одномерны. Но так как у матриц С(2) и С(3) должны быть общие собственные векторы, это накладывает ограничения x3=-x1 для собственных векторов матриц С(2) вида x2(2), которые образуют двумерное собственное подпространство. Чтобы получить характеры неприводимых представлений, необходимо нормировать полученные общие собственные векторы, учитывая, что порядок группы S3 равен 6 и что числа элементов в классах сопряженных элементов образуют вектор (1, 2, 3). Умножив скалярно вектор x3(3)= (x1, x1, x1) на вектор (1, 2, 3) и разделив на 6, получим

; x1+2x1+3x1=6,

т. е. х1=1.

Таким образом, получаем первый характер х1=(1, 1, 1). Для вектора (x1, x1, -x1), умножая его скалярно на (1, 2, -3) и деля на 6, также получаем x1=1, что дает характер х2=(1, 1, -1). Наконец, для вектора (2х2¢, -х2¢, 0) получаем

, (30)

откуда х2¢=1.

Заметим, что скалярный квадрат вектора (2х2¢, -х2¢, 0) равен 4x2¢2+2x2¢2=6x2¢2, так как имеется два элемента в классе сопряженных

элементов K2={(1 2 3), (1 3 2)} – этим и вызвано появление множителя 2 в выражении (30). С другой стороны, этот множитель равен размерности неприводимого представления группы S3, так что x3=(2, -1, 0) есть характер двумерного неприводимого представления группы S3. Полученные результаты удобно записать в виде следующей таблицы.

Таблица 5

Характеры неприводимых представлений группы S3=C3V