Теорема Лагранжа облегчает нахождение подгруппы группы G. Надо искать подгруппы группы G не любых порядков, а порядков, равных делителям порядка группы G. Например, группа C3V имеет порядок 6, а у числа 6 делителями являются числа 1, 2, 3, 6. Мы уже нашли подгруппы группы C3V, имеющие приведенные порядки – это подгруппы {}, {}, {}3={, , } и сама C3V. Подчеркнем, что если число m является делителем порядка группы G, то отсюда не следует, что в группе G есть подгруппа порядка m, т. е. теорема, обратная теореме Лагранжа, не имеет места.

Определение 2. Элементы а и b группы G называются сопряженными, если существует элемент х из группы G такой, что выполняется равенство

a=x-1bx (6)

Например, в группе C3V согласно таблице Кэли этой группы, имеем =-1=, поэтом элементы и сопряжены с помощью элемента .

С помощью понятия сопряженности можно дать классификацию элементов группы G. Обозначим через Kg1, Kg2, …, Kgt все классы сопряженных элементов. Всю группу G можно представить в виде

Kg1+ Kg2+ …+ Kgt=K1+K2+…+Kt=G, (7)

где Kgi=Ki; i=1, 2, …, t – непересекающиеся классы сопряженных элементов.

Найдем эти классы для группы C3V. Очевидно, что единица сама является классом сопряженных элементов, ибо всегда =. Обозначим этот класс R1. Второй класс сопряженных элементов – это {, }, поскольку не сопряжено с и , а других возможностей нет. С помощью таблицы Кэли проверяется, что третий класс сопряженных элементов есть {, , }, в итоге