Модели задачи пространственного вращенияПериодическая система / Модели задачи пространственного вращенияСтраница 2
4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов и . Процедура перехода к сферическим координатам для компонент аналогична той, что была осуществлена в разделе. при переводе к плоской полярной системе координат. Кстати говоря, в сферических координатах имеет тот же самый вид. Используя уравнения и читатель сам легко получит выражения
(7)
(8)
(9)
Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (6), которая в развернутой форме с учетом имеет вид
(10)
5. Жесткий ротатор. Уравнение Шредингера.
5.1. Согласно вышеизложенному, уравнение Шредингера для жесткого ротатора может быть представлено так
(11)
Поскольку момент инерции постоянен (I=const), волновые функция жёсткого ротатора с точностью до постоянного множителя совпадают с собственными функциями оператора Лежандра. Последние обозначаются символом и носят название шаровых, или сферических функций. Это значит, что должно быть справедливым операторное уравнение, следующее из (11)
(12)
где – собственное значение оператора Лежандра, связанное с квадратом момента импульса и энергией вращения;
(13)
5.2. Поэтому следующий этап решения нашей задачи состоит в нахождении собственных функций операторного уравнения (4.57), которое в развёрнутом виде представляется так
(14)
Конструкция уравнения (14), включающего сумму операторов, каждый из которых содержит одну переменную, позволяет легко произвести разделение переменных, используя метод Фурье.
5.3. Для этого представим функцию в виде произведения
, (15)
умножим обе части уравнения (14) слева на и перегруппируем слагаемые, включающие разные переменные:
(16)
Переменные и полностью разделились, поэтому правую и левую его части можно приравнять одной и той же постоянной. В результате получится два независимых уравнения
(17)
(18)
5.4. Уравнение (17) – это уравнение Шредингера для плоского ротатора, где , и решение его было предметом обсуждения в разделе 3.2:
, где (19)
причём квантовое число m связано с квантованием проекции момента импульса на ось z, так как изменение угла описывает вращение вокруг этой оси:
6. Множитель пока ещё не раскрыт, однако ясно, что каждая волновая функция отвечает состоянию с некоторым определенным фиксированным квадратом момента импульса или, что то же самое, с фиксированным модулем момента импульса. Обратим внимание читателя на то, что все преобразования, начавшись как векторные, завершаются расчетами в скалярной форме, и понятно, что из таких расчётов естественном путём вытекает квантование абсолютного значения векторной величины в виде квантования ее квадрата. Необходимое квантовое число назовем l и далее получим его значение.
Смотрите также
Гелий (Helium), Не
18 августа 1868 г. ожидалось полное солнечное затмение. Астрономы всего мира деятельно готовились к этому дню. Они надеялись разрешить тайну протуберанцев - светящихся выступов, видимых в момент полно ...
Татарстан - республика химии
...
Реакции присоединения молекул НХ с кислым атомом водорода к ненасыщенным соединениям
Реакции присоединения различных молекул НХ (Х – ОН, Cl, ОАс, CN) к ненасыщенным молекулам (олефины,
диены, алкины, нитрилы, альдегиды, кетоны и др.) занимают важное место в
промышленном орга ...