4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов и . Процедура перехода к сферическим координатам для компонент аналогична той, что была осуществлена в разделе. при переводе к плоской полярной системе координат. Кстати говоря, в сферических координатах имеет тот же самый вид. Используя уравнения и читатель сам легко получит выражения

(7)

(8)

(9)

Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (6), которая в развернутой форме с учетом имеет вид

(10)

5. Жесткий ротатор. Уравнение Шредингера.

5.1. Согласно вышеизложенному, уравнение Шредингера для жесткого ротатора может быть представлено так

(11)

Поскольку момент инерции постоянен (I=const), волновые функция жёсткого ротатора с точностью до постоянного множителя совпадают с собственными функциями оператора Лежандра. Последние обозначаются символом и носят название шаровых, или сферических функций. Это значит, что должно быть справедливым операторное уравнение, следующее из (11)

(12)

где – собственное значение оператора Лежандра, связанное с квадратом момента импульса и энергией вращения;

(13)

5.2. Поэтому следующий этап решения нашей задачи состоит в нахождении собственных функций операторного уравнения (4.57), которое в развёрнутом виде представляется так

(14)

Конструкция уравнения (14), включающего сумму операторов, каждый из которых содержит одну переменную, позволяет легко произвести разделение переменных, используя метод Фурье.

5.3. Для этого представим функцию в виде произведения

, (15)

умножим обе части уравнения (14) слева на и перегруппируем слагаемые, включающие разные переменные:

(16)

Переменные и полностью разделились, поэтому правую и левую его части можно приравнять одной и той же постоянной. В результате получится два независимых уравнения

(17)

(18)

5.4. Уравнение (17) – это уравнение Шредингера для плоского ротатора, где , и решение его было предметом обсуждения в разделе 3.2:

, где (19)

причём квантовое число m связано с квантованием проекции момента импульса на ось z, так как изменение угла описывает вращение вокруг этой оси:

6. Множитель пока ещё не раскрыт, однако ясно, что каждая волновая функция отвечает состоянию с некоторым определенным фиксированным квадратом момента импульса или, что то же самое, с фиксированным модулем момента импульса. Обратим внимание читателя на то, что все преобразования, начавшись как векторные, завершаются расчетами в скалярной форме, и понятно, что из таких расчётов естественном путём вытекает квантование абсолютного значения векторной величины в виде квантования ее квадрата. Необходимое квантовое число назовем l и далее получим его значение.