va=vk=v1, aÎPG, v1ÎV, kÎK. (11)

Теперь, используя правило умножения (11) легко проверить условия определения модуля. Полученный модуль М называется модулем представления Т.

Если известен модуль М над групповой алгеброй PG, то можно получить представление, связанное с этим модулем. Так как группе G принадлежит единица I, то каждый элемент pÎP можно записать в виде p=pI. Отсюда следует, что модуль М является векторным пространством над полем Р. Поэтому каждому элементу aÎPG можно сопоставить оператор (a), действующий в векторном пространстве М по правилу

(a)(m)=ma (12)

В частности, любому элементу gÎG можно сопоставить оператор (g), действующий по правилу (g)(m)=mg. Сопоставляя всем элементам группы G операторы (12), и получим представление Т, связанное с модулем М.

Учитывая отмеченное соответствие между модулями и представлениями, можно перевести на язык модулей основную терминологию теории представлений. Так, подмодулю М1 модуля М соответствует представление Т1, которое называется подпредставлением представления Т. Тривиальные подмодули модуля М – это сам модуль М и нулевой модмодуль О. Если все подмодули модуля М тривиальны, он называется неприводимым модулем, а соответствующее ему представление – неприводимым представлением. Если же модуль М имеет нетривиальный модмодуль, он называется приводимым модулем, ему соответствует приводимое представление.