Задача нахождения всех представлений группы является довольно громоздкой. Однако, в большинстве приложений достаточно знать лишь характеры представлений. Мы сформулируем без доказательства некоторые свойства характера.

1. Если для конечной группы имеется r классов, то всего может быть только r неприводимых представлений Г (1), . Г (r). Характеры преобразований одного класса одинаковы.

2. Класс Е всегда представляется единичной матрицей. Характеры представлений c (i) (Е) таким образом равны порядку представления и являются делителем порядка группы.

3. Порядки представления могут быть получены из соотношения:

[c (1) (E)] 2+ [c (2) (E)] 2+ . . [c (r) (E)] 2=g

где g - порядок группы (число элементов группы).

4. Характеры образуют ортогональную систему:

Sc (j) (R) c (i) (R) =gdji

Вообще, не только характеры, но и сами представления ортогональны. Характеры c (R) приводимых представлений даются равенством:

Это равенство полностью определяет r чисел n (j), т.к путем образования скалярного произведения с c (j) (R), суммирования по всем элементам группы и учета ортогональности мы имеем:

или при суммировании по классам:

где hi - число элементов в классе.