Вычисление сингулярного разложения
Статьи / Применение сингулярной матрицы в химии / Вычисление сингулярного разложения

Рассмотрим теперь построение сингулярного разложения т Х n - матрицы в предположении, что т > п. Сингулярное разложение будет вычислено в два этапа.

На первом этапе А преобразуется к верхней двухдиагональной матрице посредством последовательности (не более чем из n — 1) преобразований Хаусхолдера

где

Трансформирующая матрица выбирается так, чтобы аннулировать элементы i + 1, ., т столбца i; матрица Hi — так, чтобы аннулировав элементы i + 1, п строки / - 1.

Заметим, что Qn - это попросту единичная матрица. Она включена, чтобы упростить обозначения; Qn также будет единичной матрицей при от = я, но при т > п она, вообще говоря, отличается от единичной.

Второй этап процесса состоит в применении специальным образом адап­тированного QR-алгоритма к вычислению сингулярного разложения матрицы

Здесь - ортогональные матрицы, a S диагональная.

Можно получить сингулярное разложение А:

Сингулярное разложение матрицы В будет получено посредством следующего итерационного процесса:

Здесь - ортогональные матрицы, а Bk- верхняя двухдиагональ­ная матрица для всех k.

Заметим, что диагональные элементы матрицы полученной непосред­ственно из этой итерационной процедуры, не являются в общем случае ни положительными, ни упорядоченными. Эти свойства обеспечиваются специальной последующей обработкой.

Сама итерационная процедура представляет собой (QR-алгоритм Фрэнсиса, адаптированный Голубом и Райншем к задаче вычисления сингулярных чисел.

Смотрите также

Кальций и его роль для человечества
Кальций — элемент главной подгруппы второй группы, четвёртого периода периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева, с атомным номером 20. Обозначается символом Ca (лат. Calci ...

Иод (Iodum), I
Иод - химический элемент VII группы периодической системы Менделеева, относится к галогенам (в литературе встречается также символ J); атомный номер 53, атомная масса 126,9045; кристаллы черно-серого ...

Фтор (Fluorum), F
Фтор - химический элемент VII группы периодической системы Менделеева, относится к галогенам, атомный номер 9, атомная масса 18,998403; при нормальных условиях (0 °C; 0,1 Мн/м2, или 1 кгс/см2) - г ...