Вычисление сингулярного разложения
Статьи / Применение сингулярной матрицы в химии / Вычисление сингулярного разложения

Рассмотрим теперь построение сингулярного разложения т Х n - матрицы в предположении, что т > п. Сингулярное разложение будет вычислено в два этапа.

На первом этапе А преобразуется к верхней двухдиагональной матрице посредством последовательности (не более чем из n — 1) преобразований Хаусхолдера

где

Трансформирующая матрица выбирается так, чтобы аннулировать элементы i + 1, ., т столбца i; матрица Hi — так, чтобы аннулировав элементы i + 1, п строки / - 1.

Заметим, что Qn - это попросту единичная матрица. Она включена, чтобы упростить обозначения; Qn также будет единичной матрицей при от = я, но при т > п она, вообще говоря, отличается от единичной.

Второй этап процесса состоит в применении специальным образом адап­тированного QR-алгоритма к вычислению сингулярного разложения матрицы

Здесь - ортогональные матрицы, a S диагональная.

Можно получить сингулярное разложение А:

Сингулярное разложение матрицы В будет получено посредством следующего итерационного процесса:

Здесь - ортогональные матрицы, а Bk- верхняя двухдиагональ­ная матрица для всех k.

Заметим, что диагональные элементы матрицы полученной непосред­ственно из этой итерационной процедуры, не являются в общем случае ни положительными, ни упорядоченными. Эти свойства обеспечиваются специальной последующей обработкой.

Сама итерационная процедура представляет собой (QR-алгоритм Фрэнсиса, адаптированный Голубом и Райншем к задаче вычисления сингулярных чисел.

Смотрите также

ИСТОРИЯ ФУЛКАНЕЛЛИ
Увы, увы, сын мой, наступит день, когда священные иероглифы превратятся в простых идолов. Мир ошибочно примет знаки науки за богов и обвинит Древний Египет в поклонении адским чудищам. Но те, кто ...

Теория образования оксидов азота при горении
Условия образования оксидов при горении до сих пор не разработаны в достаточной мере и требуют глубокой проработки весьма сложной химической кинетики процесса в сочетании с детальным изучен ...

Методы определения содержания свинца, цинка, серебра в питьевой воде
Настоящий стандарт распространяется на питьевую воду и устанавливает методы определения содержания свинца, цинка и серебра. Пробы воды отбирают по ГОСТ 2874—82 и ГОСТ 24481—80 Объем пр ...