Свойства сингулярной матрицыСтатьи / Применение сингулярной матрицы в химии / Свойства сингулярной матрицы
Матрица (X—Х)'(Х—) —квадратная, симметричная и положительно определенная. Такие матрицы проявляют некоторые свойства, особенно полезные при анализе данных:
· собственные значения, действительные, а также положительные или равные нулю;
· число ненулевых собственных значений равняется рангу матрицы;
· два собственных вектора, связанные с двумя различными собственными значениями ортогональны.
В качестве иллюстрации этих свойств, а также чтобы показать их важность при анализе данных можно взять матрицу дисперсий-ковариаций и определим собственные значения матрицы методом наименьших квадратов.
Решая уравнение, получаем два собственных значения:
= 0
,
что дает =1 и
=0,6.
Как , так и
действительны и положительны. Ранг матрицы должен равняться 2, поскольку в системе существуют два ненулевых собственных значения. Компоненты собственных векторов, связанные с каждым из собственных значений, получаем из определения собственных векторов следующим образом:
для первого собственного значения
для второго собственного значения
Отметим, что два связанных с каждым из собственных значений вектора действительно ортогональны (т. е. их скалярное произведение равно нулю). В этих двух наборах векторов мы можем выбрать два нормированных вектора, которые соответственно составляют ортогональный базис:
Векторы и
действительно аналогичны тем, которые определены в разделе 5.2.1, а координаты матрицы данных относительно этой точки отклика уже вычислены:
(Y) = (X-) (U)
Смотрите также
Современные направления развития композитов на основе полимеров
Современная техника предъявляет самые
разнообразные требования к полимерным материалам. Допустим, нужно повысить
прочность и жесткость полимера, снизить его стоимость, уменьшить плотность. С ...
Астат (Astatium), At
Астат - радиоактивный химический элемент VII группы периодической системы Менделеева, атомный номер 85. Стабильных изотопов у А. нет; известно не менее 20 радиоактивных изотопов А., из которых наиболе ...
Вольфрам (Wolframium), W
Температура нити электрической лампочки превышает 2500°С. Большинство металлов при такой температуре плавится, некоторые же кипят и быстро испаряются. В данном случае выручает вольфрам - самый туг ...