Свойства сингулярной матрицыСтатьи / Применение сингулярной матрицы в химии / Свойства сингулярной матрицы
Матрица (X—Х)'(Х—) —квадратная, симметричная и положительно определенная. Такие матрицы проявляют некоторые свойства, особенно полезные при анализе данных:
· собственные значения, действительные, а также положительные или равные нулю;
· число ненулевых собственных значений равняется рангу матрицы;
· два собственных вектора, связанные с двумя различными собственными значениями ортогональны.
В качестве иллюстрации этих свойств, а также чтобы показать их важность при анализе данных можно взять матрицу дисперсий-ковариаций и определим собственные значения матрицы методом наименьших квадратов.
Решая уравнение, получаем два собственных значения:
= 0 ,
что дает =1 и =0,6.
Как , так и действительны и положительны. Ранг матрицы должен равняться 2, поскольку в системе существуют два ненулевых собственных значения. Компоненты собственных векторов, связанные с каждым из собственных значений, получаем из определения собственных векторов следующим образом:
для первого собственного значения
для второго собственного значения
Отметим, что два связанных с каждым из собственных значений вектора действительно ортогональны (т. е. их скалярное произведение равно нулю). В этих двух наборах векторов мы можем выбрать два нормированных вектора, которые соответственно составляют ортогональный базис:
Векторы и действительно аналогичны тем, которые определены в разделе 5.2.1, а координаты матрицы данных относительно этой точки отклика уже вычислены:
(Y) = (X-) (U)
Смотрите также
Исследования Николая Зинина
Николай
Зинин родился 13 (25) августа 1812, г. Шуша Елизаветпольской губернии,
ныне в Нагорном Карабахе. Скончался 6 (18) февраля 1880, в Петербурге.
...