Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения
Статьи / Применение сингулярной матрицы в химии / Общие сведения о сингулярном разложении и сингулярных матрицах. Ортогональное разложение посредством сингулярного разложения

В этом пункте данного реферата будет описано одно практически полезное ортогональ­ное разложение т x n - матрицы А. Мы покажем здесь, что невырожденную под­матрицу R матрицы A можно еще более упростить так, чтобы она стала невырожден­ной диагональной матрицей. Получаемое в результате разложение особенно полезно при анализе влияния ошибок входной информации на решение задачи НК.

Это разложение тесно связано со спектральным разложением симметрич­ных неотрицательно определенных матриц ATA и AAT.

Теорема

(сингулярное разложение). Пусть А - m x n -матрица ранга k. Тогда существуют ортогональная m x m матрица U, ортогональ­ная n x n -матрица V и диагональная m x n -матрица S) такие, что

Матрицу S можно выбрать так, чтобы ее диагональные элементы составля­ли невозрастающую последовательность; все эти элементы неотрицательны и ровно k из них строго положительны.

Диагональные элементы S называются сингулярными числами А.

Доказательства данной теоремы приводить не имеет смысла во избежание нагромождения множества сложных математических выкладок, прямого отношения к теме, рассматриваемой в данном реферате, не имеющих. Ограничимся следующим численным примером, в котором дано сингулярное разложение матри­цы А вида:

Смотрите также

Критический объем и плотность веществ, их прогнозирование
...

Гафний (Hafnium), Hf
Гафний - химический элемент IV группы периодической системы Менделеева; порядковый номер 72, атомная масса 178, 49; серебристо-белый металл. В состав природного Г. входят 6 стабильных изотопов с массо ...

Азот (Nitrogenium), N
Азот - химический элемент V группы периодической системы Менделеева, атомный номер 7, атомная масса 14,0067; бесцветный газ, не имеющий запаха и вкуса. Историческая справка. Соединения А. - селитра, ...